Bài tập tính đạo hàm cấp cao

Cho hàm số tất cả đạo hàm trên . Hotline là số gia của biến số trên . Ta điện thoại tư vấn tích

*
là vi phân của hàm số f(x) tại điểm ứng cùng với số gia . Kí hiệu
*
.

Cho hàm số gồm đạo hàm tại x. Ta hotline tích

*
là vi phân của hàm số f(x) trên điểm x ứng với số gia (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). Kí hiệu
*
. Nếu lọc hàm số
*
thì ta gồm
*
. Vị vậy ta thường kí hiệu
*
*
.

Công thức tính ngay sát đúng dựa vào vi phân là:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 1: tìm vi phân của hàm số

PHƯƠNG PHÁP

a). Tính vi phân của hàm số f(x) tại cho trước:

Tính đạo hàm của hàm số trên .

Suy ra vi phân của hàm số tại ứng với số gia là

*
.

b). Tính vi phân của hàm số f(x).

Tính đạo hàm của hàm số .

Suy ra vo phân của hàm số:

*


Bạn đang xem: Bài tập tính đạo hàm cấp cao

Ví dụ 1: mang lại hàm số

*
. Tính vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia .


LỜI GIẢI

Ta gồm

*
. Do đó vi phân của hàm số trên điểm , ứng cùng với số gia là:
*
.

Ví dụ 2: Tính vi phân của những hàm số sau:

a).

*
b).
*
c).
*
d).
*

LỜI GIẢI

a). Ta có

*

suy ra

*

DẠNG 2: Tính gần đúng giá trị của hàm số:

Để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại điểm

*
mang đến trước, ta áp dụng công thức .


Ví dụ tính ngay gần đúng những giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân vào kết quả).

a).

*
b).
*
c).
*
d).
*

e).

*
.


LỜI GIẢI

a). Ta bao gồm

*
. Xét hàm số
*

chọn

*
với
*
, ta có

*

b). Ta có

*
.

Xét hàm số

*
.

Chọn

*
cùng
*
, ta bao gồm .

*
.

c). Ta bao gồm

*
.

Xét hàm số

*

Chọn

*
với
*
, ta tất cả .

*

d). Ta bao gồm

*
.

Xét hàm số

*
.

Chọn với

*
, ta có .

*
.

e).

*
.

Xét hàm số

*
.

Chọn

*
*
, ta bao gồm .

*
.

5.ĐẠO HÀM CẤP CAO

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Mang lại hàm số

*
bao gồm đạo hàm . Hàm số còn gọi là đạo hàm cung cấp 1 của hàm số . Giả dụ hàm số bao gồm đạo hàm thì đạo hàm này được gọi là đạo hàm cấp cho 2 của hàm số , kí hiệu là y’’ tuyệt
*
. Đạo hàm của đạo hàm cung cấp 2 được điện thoại tư vấn là đạo hàm cấp 3 của hàm số , kí hiệu là y’’’ tuyệt f’’’
*
. Tương tự, ta điện thoại tư vấn đạo hàm của đạo hàm cấp
*
là đạo hàm cấp cho n của hàm số , kí hiệu là
*
giỏi
*
, tức là ta có:

*
.

2.Đạo hàm cấp cho 2 của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời gian t.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

DẠNG 1: Tính đạo hàm cao cấp của hàm số.

1.PHƯƠNG PHÁP

Áp dụng trực tiếp định nghĩa:

*
nhằm tính đạo hàm đến cung cấp mà đề bài bác yêu cầu.


Xem thêm: Review Phim Đội Trưởng Mỹ 2 : Chiến Binh Mùa Đông, Captain America 2: Chiến Binh Mùa Đông Hd Vietsub

Ví dụ: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau:

a).

*
b).
*
c).
*

d).

*
e).
*
f).


LỜI GIẢI

a). Tất cả

*

*

*

*
.

b). Ta gồm

*

*

c).

*

*

*
.

d).

*

*

*

e).

*

*

*

f).

*

*

DẠNG 2: kiếm tìm đạo hàm cấp cho n của một hàm số

PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Tính . Dựa vào các đạo hàm vừa tính, dự đoán công thức tính .

Bước 2: chứng minh công thức vừa dự kiến là đúng bằng phương pháp quy nạp.

Chú ý: buộc phải phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm tìm ra quy luật để dự đoán công thức bao gồm xác.


Ví dụ 1: tìm đạo hàm cung cấp n của hàm số

*


LỜI GIẢI

Bước 1: Ta có:

*

Dự đoán:

*

Bước 2: chứng minh bằng quy nạp:

*
phân minh đúng.

trả sử đúng với tức thị ta có:

*
ta phải minh chứng thờ đúng cùng với tức thị ta phải chứng tỏ

*

Thật vậy : vế trái

*
=vế nên
*
đúng, nghĩa là đúng với

Bước 3: theo nguyên lí quy hấp thụ suy ra

*


Ví dụ 2: tra cứu đạo hàm cấp n của hàm số

*


LỜI GIẢI

Ta có:

*

*

Dự đoán:

*

Chứng minh bằng cách thức quy nạp:

*
hiển nhiên đúng.

giả sử đúng với , tức là ta có:

*
ta phải chứng tỏ bái đúng cùng với , tức là ta phải chứng minh: